Turunan & Integral

Assalamualaikum wr. wb
Selamat datang kembali di blog kami, kali ini kita akan membahas mengenai Turunan dan Intergral.

A. Turunan

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Berikut merupakan beberapa aturan dasar yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan turunan :

1. Aturan turunan fungsi konstan

2. Aturan turunan fungsi identitas

3. Aturan turunan fungsi pangkat

6. Aturan hasil bagi dalam tururnan

7. Aturan hasil kali dalam turunan

Contoh soal :

1. Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x2 + 2) yaitu:

jawab :

u = 2x + 3 ⇒ u’ = 2
v = x2 + 2 ⇒ v’ = 2x

f ‘(x) = u’ v + u v’
f ‘(x) = 2(x2 + 2) + (2x + 3) 2x
f ‘(x) = 2x2 + 4 + 4x2 + 6x
f ‘(x) = 6x2 + 6x + 4

2. 

B. Integral

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Berdasarkan pengertian di atas, terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral.

Antara lain: integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu.

Serta yang kedua, integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.

Rumus umum integral :

Misalkan terdapat suatu fungsi sederhana axⁿ. Integral dari fungsi tersebut adalah

keterangan :

k = koefisien

x = variabel

n = pangkat/derajat dari variabel

C = konstanta

Macam-macam integral 

1. Integral Tentu

Integral tentu didefinisikan sebagai jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva atau persamaan tertentu.

Berbeda dari integral tak tentu, integral tentu memiliki nilai tertentu karena batas yang ditentukan sudah jelas.

Secara umum, integral tentu didefinisikan sebagai

Keterangan:

·         f(x)  : persamaan kurva

·         a, b  : batas bawah dan batas atas integral

·         F(b), F(a) : nilai integral untuk x = b dan x = a.

contoh soal :

jawab :

Dalam soal ini, batas atas adalah 1 dan batas bawah -2. Tahap pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan integral fungsi  3x² + 5x + 2 menjadi seperti di bawah ini.

Setelah kita mendapatkan bentuk integral dari fungsi tersebut, kita dapat memasukkan nilai batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut lalu mengurangkannya menjadi seperti berikut.

Hasil dari integraltersebut adalah 27,5.

2. Tentukanlah integral x jika f’(x) =  3x2

Jawab :

Dalam mengerjakan soal ini, kita harus memperhatikan fungsi secara seksama. Dalam soal tersebut fungsi berbentuk f’(x) yang menandakan bahwa fungsi tersebut merupakan suatu turunan dari fungsi tertentu. Untuk mengerjakan soal tersebut, kita dapat menggunakan sifat dasar integral tak tentu seperti di bawah.

Sehingga nilai integral dari fungsi tersebut adalah x3+C.

2. integral tak tentu

Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, integral tak tentu merupakan suatu kebalikan dari turunan. Kalian dapat menyebutnya sebagai anti turunan atau antiderivative.

Integral tak tentu dari suatu fungsi menghasilkan fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu karena masih terdapat variabel dalam fungsi baru tersebut. Bentuk umum integral tentu  

Keterangan:

·         f(x)  : persamaan kurva

·         F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)

·         C     : konstanta

contoh soal:

1. Carilah hasil integral tak tentu dari ʃ 8x³ – 6x² + 4x – 2 dx.

jawab:

Jadi hasil dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx adalah 2x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + C.

2. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx 

jawab :

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

Terimakasih telah berkunjung. :)